Question

已知圓M：（x-）²+y²=，若橢圓C：+=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為圓M的圓心，離心率為．
（I）求橢圓C的方程；
（II）已知直線l：y=kx，若直線l與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，與圓M分別交于G，H兩點(diǎn)（其中點(diǎn)G在線段AB上），且|AG|=|BH|，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由圓心M得到．利用橢圓的離心率及b²=a²-c²即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式即可得到|AB|，利用垂徑定理及半徑、弦長的一半、弦心距三者之間的關(guān)系即可得到|GH|，進(jìn)而得出k．
解答：解：（I）設(shè)橢圓的焦距為2c，由圓心M得到．
∵，∴c=1．
∴b²=a²-c²=1．
所以橢圓C：．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，則
消去y得到（1+2k²）x²-2=0，則x₁+x₂=0，．
∴|AB|==．
點(diǎn)M到直線l的距離．
則|GH|=．
顯然，若點(diǎn)H也在線段AB上，則由對(duì)稱性可知，直線y=kx就是y軸，矛盾．
∵|AG|=|BH|，∴|AB|=|GH|．
∴，
解得k²=1，即k=±1．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與曲線相交問題轉(zhuǎn)化為把直線l的方程與曲線的方程聯(lián)立得到一元二次方程、利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式、垂徑定理及半徑、弦長的一半、弦心距三者之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．