Question

點P（x，y）是函數(shù)f(x)=

3

2

sinπx(x∈[-

1

2

，

5

2

])圖象上的點，已知點Q（2，0），O為坐標(biāo)原點，則

OP

•

QP

的取值范圍為（　�。�

• A．[-1，0]
• B．[-1，2]
• C．[0，3]
• D．[-1，

  3

  -1]

Answer 1

分析：由點P和Q的坐標(biāo)寫出向量的坐標(biāo)，寫出數(shù)量積后代入y的表達(dá)式，化為關(guān)于x的函數(shù)后利用單調(diào)性求最值．

解答：解：由點P（x，y）是函數(shù)f(x)=

3

2

sinπx(x∈[-

1

2

，

5

2

])圖象上的點，
所以y=

3

2

sinπx．

OP

•

QP

=（x，y）•（x-2，y）=x（x-2）+y²
=x2-2x+(

3

2

sinπx)2=

3

4

sin2πx+x2-2x=

3

4

sin2πx+(x-1)2-1
=(x-1)2-

5

8

-

3

8

cos2πx，
∵x∈[-

1

2

，

5

2

]，∴當(dāng)x=-1時，

OP

•

QP

有最小值為-1，當(dāng)x=-

1

2

或

5

2

時，

OP

•

QP

有最大值為2，
所以

OP

•

QP

的取值范圍為[-1，2]．
故選B．

點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，訓(xùn)練了利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．