Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2） 設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）a= 解得c=2,即可得到橢圓方程；（2）設(shè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率 ，直線，直線的斜率為，且過(guò)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為：， 得 ，

由，得，化簡(jiǎn)，得 ,

進(jìn)而得 ,運(yùn)用基本不等式求最值即可.

（1）由橢圓過(guò)點(diǎn)可知

由離心率可知，解得

所以

所以橢圓的方程為.

（2）由題意，直線的斜率存在，設(shè)點(diǎn)，

則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且直線的斜率，

由點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，得直線，

故直線的斜率為，且過(guò)點(diǎn)，

所以直線的方程為：，

令，得，則 ，

由，得，化簡(jiǎn)，得

所以 .

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

所以的取值范圍是.