Question

已知橢圓（a＞b＞0），離心率為的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，1）．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且互相垂直的直線l₁，l₂分別與橢圓交于A，B和C，D，是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|？若存在，求出實(shí)數(shù)λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率e==，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，1）即+=1可求得a²，b²；
（2）設(shè)出直線AB，CD的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得相應(yīng)弦長(zhǎng)，利用|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，可Q求得λ，從而問(wèn)題得到解決．
解答：解：（1）∵橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，1），
∴e==?==①，+=1②，
由①②解得a²=8，b²=4，
∴該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1；
（2）∵橢圓+=1的左焦點(diǎn)F₁（-2，0）；
設(shè)過(guò)其左焦點(diǎn)F₁的直線AB的方程為：y=k₁（x+2），k₁≠0
由方程組 得（2+1）x²+8x+8-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁•x₂=
由弦長(zhǎng)公式得|AB|=•=，
同理設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），|CD|=•=，，
由（1）k₁•k₂=-1得k₂=-，代入得|CD|=，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ==+==，則存在λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查直線與圓錐曲線的綜合，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式，綜合性強(qiáng)，屬于難題．