Question

19．已知二次函數(shù)f（x）圖象過原點(diǎn)，且f（-1）∈[-1，2]，f（1）∈[2，4]，求f（-2）取值范圍．

Answer 1

分析 由二次函數(shù)y=f（x）的圖象過原點(diǎn)，設(shè)出二次函數(shù)解析式為f（x）=ax²+bx（a≠0），把f（-1）和f（1）用含有a，b的代數(shù)式表示，聯(lián)立關(guān)于a，b的方程組解出a，b，然后把f（-2）也用含有a，b的代數(shù)式表示，最后轉(zhuǎn)化為用f（-1）和f（1）表示，由f（-1）和f（1）的范圍求得f（-2）的范圍．

解答 解：∵二次函數(shù)y=f（x）的圖象過原點(diǎn)，
∴設(shè)f（x）=ax²+bx（a≠0），
又$\left\{\begin{array}{l}f（1）=a+b\\ f（-1）=a-b\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}[f（-1）+f（1）]\\ b=\frac{1}{2}[f（1）-f（-1）]\end{array}\right.$，
∴f（-2）=4a-2b=4×$\frac{1}{2}$[f（-1）+f（1）]-2×$\frac{1}{2}$[f（1）-f（-1）]=3f（-1）+f（1），
又∵f（-1）∈[-1，2]，f（1）∈[2，4]，即1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，
∴-1≤3f（-1）+f（1）≤10，
即-1≤f（-2）≤10．
∴f（-2）的取值范圍是[-1，10]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)值的求法，訓(xùn)練了利用不等式求函數(shù)的值的范圍，解答此題的關(guān)鍵是把f（-2）轉(zhuǎn)化為含有f（-1）和f（1）的表達(dá)式，此題是易錯(cuò)題，學(xué)生往往會(huì)直接由f（-1）和f（1）的范圍聯(lián)立求出a和b的范圍，然后把f（-2）用a和b的代數(shù)式表示，由a和b的范圍求解f（-2）的范圍，忽略了其中a和b是相關(guān)聯(lián)的．