Question

14．甲、乙、丙三名同學參加歌唱、圍棋、舞蹈、閱讀、游泳5個課外活動，每個同學彼此獨立地選擇參加3個活動，其中甲同學喜歡唱歌但不喜歡下棋，所以必選歌唱，不選圍棋，另在舞蹈、閱讀、游泳中隨機選2個，同學乙和丙從5個課外活動中任選3個．
（1）求甲同學選中舞蹈且乙、丙兩名同學未選中舞蹈的概率；
（2）設X表示參加舞蹈的同學人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）設A表示事件“甲同學選中舞蹈”，B表示事件“乙同學選中舞蹈”，C表示事件“丙同學選中舞蹈，事件A、B、C相互獨立，甲同學選中舞蹈且乙、丙兩名同學未選中舞蹈的概率為P（A$\overline{B}\overline{C}$）=P（A）•P（$\overline{B}$）•P（$\overline{C}$）=P（A）•[1-P（B）][1-P（C）]，由此能求出結(jié)果．
（2）X可能的取值為0，1，2，3，分別示出相應的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望E（X）．

解答 解　（1）設A表示事件“甲同學選中舞蹈”，B表示事件“乙同學選中舞蹈”，
C表示事件“丙同學選中舞蹈”，…（1分）
則P（A）=$\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{3}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
P（B）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（C）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$．
∵事件A、B、C相互獨立，
∴甲同學選中舞蹈且乙、丙兩名同學未選中舞蹈的概率為：
P（A$\overline{B}\overline{C}$）=P（A）•P（$\overline{B}$）•P（$\overline{C}$）=P（A）•[1-P（B）][1-P（C）]
=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{8}{75}$．…（4分）
（2）∵X可能的取值為0，1，2，3，且取這些值的概率分別為
P（X=0）=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{4}{75}$，
P（X=1）=$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{20}{75}$，
P（X=2）=$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{33}{75}$，
P（X=3）=$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{75}$，…（8分）
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{75}$	$\frac{20}{75}$	$\frac{33}{75}$	$\frac{18}{75}$

∴X的數(shù)學期望E（X）=0×$\frac{4}{75}$+1×$\frac{20}{75}$+2×$\frac{33}{75}$+3×$\frac{18}{75}$=$\frac{140}{75}$=$\frac{28}{15}$…（10分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．