Question

6．電視臺(tái)與某企業(yè)簽訂了播放兩套連續(xù)劇的合作合同．約定每集電視連續(xù)劇播出后，另外播出2分鐘廣告．已知連續(xù)劇甲每集播放80分鐘，收視觀眾為60萬(wàn)，連續(xù)劇乙每集播放40分鐘，收視觀眾為20萬(wàn)，根據(jù)合同，要求電視臺(tái)每周至少播放12分鐘廣告，而電視劇播放時(shí)間每周不多于320分鐘，設(shè)每周播放甲乙兩套電視劇分別為x集、y集．
（Ⅰ）用x，y列出滿足條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（Ⅱ）電視臺(tái)每周應(yīng)播映兩套連續(xù)劇各多少集，才能使收視觀眾最多，最高收視觀眾有多少萬(wàn)人？

Answer 1

分析 （I）根據(jù)廣告和連續(xù)劇的播放時(shí)間列不等式組即可；
（II）利用簡(jiǎn)單線性規(guī)劃知識(shí)求出觀眾人數(shù)的最值．

解答 解：（I）x，y列出滿足條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式為：$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y≥12}\\{80x+40y≤320}\\{x≥0}\\{y≥0}\\{x∈N}\\{y∈N}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥6}\\{2x+y≤8}\\{x≥0}\\{y≥0}\\{x∈N}\\{y∈N}\end{array}\right.$．
相應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)椋?br />
（II）設(shè)每周收視觀眾為z萬(wàn)人，則z=60x+20y，
∴y=-3x+$\frac{z}{20}$，
∴直線y=-3x+$\frac{z}{20}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，截距最大，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{2x+y=8}\end{array}\right.$，得A（2，4），
∴z的最大值為60×2+20×4=200．
∴每周播放連續(xù)劇甲2集，連續(xù)劇乙4集收視觀眾最多，最高收視觀眾為200萬(wàn)人．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于中檔題．