Question

如圖已知平面α，β，且α∩β=AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PCD；
（Ⅱ）若PC=PD=1，CD=，試判斷平面α與平面β的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：對(duì)于問(wèn)題（Ⅰ），要證明AB⊥平面PCD，只需證明垂直于平面PCD內(nèi)的兩條相交直線，根據(jù)本題的條件，只需證明AB⊥PC，AB⊥PD即可，而條件中的PC⊥α，PD⊥β，由線面垂直的定義可以得到PC⊥AB，PD⊥AB，問(wèn)題得以解決；對(duì)于問(wèn)題（Ⅱ），由于兩個(gè)平面已經(jīng)相交，所以應(yīng)該考慮二者是否垂直，而由問(wèn)題（Ⅰ）的結(jié)論，容易作出C-AB-D的平面角∠CHD，而能夠得到∠CPD=90°，由平面四邊形內(nèi)角定理，容易得到∠CHD=90°，由面面垂直的定義可以得證．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)镻C⊥α，AB?α，所以PC⊥AB．同理PD⊥AB．
又PC∩PD=P，故AB⊥平面PCD．（5分）
（Ⅱ）設(shè)AB與平面PCD的交點(diǎn)為H，連接CH、DH．因?yàn)锳B⊥平面PCD，
所以AB⊥CH，AB⊥DH，所以∠CHD是二面角C-AB-D的平面角．
又，所以CD²=PC²+PD²=2，即∠CPD=90°．
在平面四邊形PCHD中，∠PCH=∠PDH=∠CPD=90°，
所以∠CHD=90°．故平面α⊥平面β．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定以及平面與平面垂直的判定，根據(jù)判定定理，證明線面垂直往往轉(zhuǎn)化為證線線垂直，而線線垂直的證明往往還需要線面垂直來(lái)得到，要注意二者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，對(duì)于面面垂直，定義也是常用的方法．