Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-1|+m，g（x）=lnx．
（1）當(dāng)m＞1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在[0，m]上的最大值；
（2）記函數(shù)p（x）=f（x）-g（x），若函數(shù)p（x）有零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，分別在[0，1]和（1，m]上求函數(shù)的最大值．
（2）函數(shù)有零點(diǎn)即對(duì)應(yīng)方程有解，得到m的解析式m=h（x），通過(guò)導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定h（x）=lnx-x|x-1|的單調(diào)性，由h（x）的單調(diào)性確定h（x）的取值范圍，即得m的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x（1-x）+m=-x2+x+m=-(x-

1

2

)2+m+

1

4

∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，f(x)max=m+

1

4

當(dāng)x∈（1，m]時(shí)，f（x）=x（x-1）+m=x2-x+m=(x-

1

2

)2+m-

1

4

∵函數(shù)y=f（x）在（1，m]上單調(diào)遞增，∴f（x）_max=f（m）=m²
由m2≥m+

1

4

得：m2-m-

1

4

≥0又m＞1?m≥

1+ 2

2

．
∴當(dāng)m≥

1+ 2

2

時(shí)，f（x）_max=m²；
當(dāng)1＜m＜

1+ 2

2

時(shí)，f(x)max=m+

1

4

．
（2）函數(shù)p（x）有零點(diǎn)即方程f（x）-g（x）=x|x-1|-lnx+m=0有解，
即m=lnx-x|x-1|有解
令h（x）=lnx-x|x-1|，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，h（x）=x²-x+lnx
∵h′(x)=2x+

1

x

-1≥2

2

-1＞0
∴函數(shù)h（x）在（0，1]上是增函數(shù)，∴h（x）≤h（1）=0
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）=-x²+x+lnx．
∵h′(x)=-2x+

1

x

+1=

-2x2+x+1

x

=-

(x-1)(2x+1)

x

＜0
∴函數(shù)h（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，∴h（x）＜h（1）=0
∴方程m=lnx-x|x-1|有解時(shí)，m≤0，
即函數(shù)p（x）有零點(diǎn)時(shí)m≤0

點(diǎn)評(píng)：本題考查用分類討論的方法求函數(shù)最大值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域，及化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法．