Question

【題目】口袋中裝有2個白球和n（n≥2，n N*）個紅球．每次從袋中摸出2個球（每次摸球后把這2個球放回口袋中），若摸出的2個球顏色相同則為中獎，否則為不中獎．
（I）用含n的代數(shù)式表示1次摸球中獎的概率；
（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中獎的概率；
（III）記3次摸球中恰有1次中獎的概率為f（p），當f（p）取得最大值時，求n的值．

Answer 1

【答案】解：（I）設“1次摸球中獎”為事件A，則P（A）= ，

（II）由（I）得，若n=3，則1次摸球中獎的概率為p= = = ，

所以3次摸球中，恰有1次中獎的概率為P3（1）= ，

（III）設“1次摸球中獎”的概率為p，

則3次摸球中，恰有1次中獎的概率為

f（p）=C p（1-p）2 =3p3-6p2+3p（0<p<1），

因為f'（p）=9p2-12p+3=3（p-1）（3p-1），

所以，當p∈（0， ）時，f（p）單調(diào)遞增；當p∈（ ，1）時，f（p）單調(diào)遞減，

所以，當p= 時，f（p）取得最大值．

令 ，解得n=2，n=1（舍去）．

所以，當f（p）取得最大值時，n的值為2．

【解析】（I）根據(jù)題意結合排列組合再利用概率的定義求出即可。（II）利用n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率求出結果。（III）根據(jù)題意求出概率f（p）的解析式，對其求導利用導函數(shù)的性質(zhì)得到原函數(shù)的單調(diào)性進而求出當f（p）取得最大值時，n的值為2。