Question

在銳角△ABC中，角A、B、C成等差數(shù)列，

(1+cos2A)(1+cos2C)

=

3 -1

2

（Ⅰ）證明：cosAcosC=

1

2

[cos(A+C)+cos(A-C)]；
（Ⅱ）試比較a+

2

b與

3

c的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵cos（A+C）+cos（A-C）=cosAcosC-sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC=2cosAcosC，
兩邊同時(shí)除以2可得cosAcosC=

1

2

[cos(A+C)+cos(A-C)]．
（Ⅱ）在銳角△ABC中，因?yàn)锳、B、C成等差數(shù)列，所以B=60°，A+C=120°．
又

2cos2A•2cos2C

=2cosAcosC=cos（A+C）+cos（A-C）=-

1

2

+cos(A-C)，

(1+cos2A)(1+cos2C)

=

2cos2A•2cos2C

=

3 - 1

2

，
∴-

1

2

+cos(A-C)=

3 - 1

2

，∴cos(A-C)=

3

2

．
∵-90⁰＜A-C＜90⁰，A+C=120°，故有 A-C=±30°，sin750=

6 + 2

4

，
當(dāng)A＜C時(shí)，A=45°，C=75°，此時(shí)

a+ 2 b

3 c

=

sin450+ 2 sin600

3 sin750

＞

6 + 2 2

2• 6 + 2 4

=1，所以a+

2

b＞

3

c．
當(dāng)A＞C時(shí)，A=75°，C=45°，

a+ 2 b

3 c

=

sin750+ 2 sin600

3 sin450

＞1，所以a+

2

b＞

3

c，
綜合得 a+

2

b＞

3

c．