Question

已知函數(shù)f(x)=

a(x-1)

x2

，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

a(x-1)

x2

，
∴f′（x）=

[a(x-1)]′•x2-(x2)′a(x-1)

x4

=

a(2-x)

x3

，f′（x）＞0?0＜x＜2，
f′（x）＜0?x＜0，或x＞2，
故函數(shù)在（0，2）上遞增，在（-∞，0）和（2，+∞）上遞減．
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為（x，y），
由切線斜率k=1=

a(2-x)

x3

，?x³=-ax+2a，①
由x-y-1=x-

a(x-1)

x2

-1=0?（x²-a）（x-1）=0?x=1，x=±

a

．
把x=1代入①得a=1，
把x=

a

代入①得a=1，
把x=-

a

代入①得a=-1（舍去），．
故所求實(shí)數(shù)a的值為1．
（Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x²f（x）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，解lnx+1-a=0得x=e^a-1，
故g（x）在區(qū)間（e^a-1，+∞）上遞增，在區(qū)間（0，e^a-1）上遞減，
①當(dāng)e^a-1≤1時(shí)，即0＜a≤1時(shí)，g（x）在區(qū)間[1，e]上遞增，其最小值為g（1）=0；
②當(dāng)1＜e^a-1＜e時(shí)，即0＜a＜2時(shí)，g（x）的最大值為g（e^a-1）=a-e^a-1；
③當(dāng)e^a-1≥e，即a≥2時(shí)，g（x）在區(qū)間[1，e]上遞減，其最小值為g（e）=e+a-ae．