Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^2x-ae^x+2x在R上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （2，4]
• B． （-∞，4]
• C． （3，4）
• D． [3，4）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，則必有其導(dǎo)數(shù)f′（x）≥0在R上恒成立，使用換元法設(shè)e^x=t，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題，求出a的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對于函數(shù)f（x）=e^2x-ae^x+2x，求導(dǎo)可得：f′（x）=2e^2x-ae^x+2，
∵f（x）是R上的增函數(shù)，
∴f′（x））=2e^2x-ae^x+2≥0在R上恒成立，
設(shè)e^x=t，則t＞0，
∴2t²-at+2≥0在（0，+∞）上恒成立，
（1）若△=a²-16≤0，解得-4≤a≤4．顯然符合題意．
（2）若△=a²-16＞0，即a＜-4或a＞4時(shí)，只需令2t²-at+2=0有兩個(gè)負(fù)根即可．
則有$\frac{a}{2}$＜0，即a＜0；
又由a＜-4或a＞4，則此時(shí)a＜-4；
綜合可得：a＜4，即a的取值范圍是（-∞，4]；
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是用換元法分析，將原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的根的分布問題．