Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=

3

2

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若M，N是該橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，M，N異于B點(diǎn)，直線MB與直線NB的斜率分別為K₁，k₂，計(jì)算K₁•k₂的值；
（3）若直線MB，直線NB分別與直線x=6相交C，D兩點(diǎn)，證明以CD為直徑的圓恒經(jīng)過定點(diǎn)，并且求定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

a=2 e= c a = 3 2

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），B（x₀，y₀），則N（-x₁，-y₁），由此能求出k₁k₂=

y0-y1

x0-x1

•

y0+y1

x0+x1

=

y02-y12

x02-x02

=-

1

4

．
（3）假設(shè)x₁＞0，y₁＞0，直線BM：

y

x-2

=

y1

x1-2

，把x=6代入，得：C（6，

4y1

x1-2

），直線BN：

y

x-2

=

-y1

-x1-2

，把x=6代入，得：D（6，

4y1

x1+2

），由此求出以CD為直徑的圓的圓心O（6，-

x1

y1

），半徑r=

1

2

|CD|=

2

y1

，從而能夠證明以CD為直徑的圓恒經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．

解答： （1）解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)
分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=

3

2

，
∴

a=2 e= c a = 3 2

，解得a=2，c=

3

，b²=4-3=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）解：設(shè)M（x₁，y₁），B（x₀，y₀），
∵M(jìn)，N是該橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，M，N異于B點(diǎn)，
∴N（-x₁，-y₁），|x₁|≠|(zhì)x₀|，
∴k1=

y0-y1

x0-x1

，k2=

y0+y1

x0+x1

，
k₁k₂=

y0-y1

x0-x1

•

y0+y1

x0+x1

=

y02-y12

x02-x02

，
∵M(jìn)（x₁，y₁），B（x₀，y₀）都是橢圓

x2

4

+y2=1上的點(diǎn)，
∴

x12 4 +y12=1 x02 4 +y02=1

，兩式相減，得：

x02-x12

4

+(y02-y12)=0，
∴k₁k₂=

y02-y12

x02-x02

=-

1

4

．
（3）證明：假設(shè)x₁＞0，y₁＞0，直線BM：

y

x-2

=

y1

x1-2

，把x=6代入，得：C（6，

4y1

x1-2

），
直線BN：

y

x-2

=

-y1

-x1-2

，把x=6代入，得：D（6，

4y1

x1+2

），
∴|CD|=

4y1

x1+2

-

4y1

x1-2

=

-16y1

x12-4

=

-16y1

-4y12

=

4

y1

，
∵

1

2

(

4y1

x1-2

+

4y1

x1+2

)=

2y1

x1-2

+

2y1

x1+2

=

4x1y1

x12-2

=

4x1y1

-4y12

=-

x1

y1

，
∴以CD為直徑的圓的圓心O（6，-

x1

y1

），半徑r=

1

2

|CD|=

2

y1

，
∵點(diǎn)（4，0）到圓心O（6，-

x1

y1

）的距離：
d=

(6-4)2+(- x1 y1 )2

=

4+ x12 y12

=

4y12+x12 y12

=

2

y1

=r，
∴以CD為直徑的圓恒經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線斜率乘積的求法，考查圓過定點(diǎn)的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．