Question

求當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=的值域.

Answer 1

思路分析：此題從形式上看，不能使用基本不等式，但通過變形之后，f(x)=在分母上可以使用基本不等式.

解：∵x＞0，∴f(x)==.∵x+≥2,∴0＜≤.

∴0＜f(x)≤1.∴f(x)的值域?yàn)椋?,1］，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”號(hào).

巧題變式

（1）本題中要沒有x＞0的限制，僅有x∈R，那么應(yīng)如下求解：

當(dāng)x＞0時(shí)，同上;當(dāng)x＜0時(shí)，x+≤-2,∴≤＜0,∴-1≤f(x)＜0;

當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0,∴-1≤f(x)≤1.

（2）若本題加上x∈R的條件，且不用基本不等式，則可以用判別式求解.

∵y=,

∴yx²-2x+y=0.

當(dāng)y=0時(shí)，得x=0，當(dāng)y≠0時(shí)，

∵x∈R，∴Δ=4-4y²≥0,∴-1≤y≤1,但當(dāng)x＞0時(shí)，如使用判別式法求解，那么就不僅僅是Δ≥0的問題了，而且還應(yīng)該考慮x＞0的限制條件，是比較復(fù)雜的.