Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且， 是中點(diǎn).

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）若， ，求平面與平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析:(1) 連接， ，連接,易得，從而平面；

（2）取的中點(diǎn)，連接， ，易證，以為原點(diǎn)， 所在的直線為軸， 所在的直線為軸， 所在的直線為軸建立空間坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量面，代入公式計(jì)算即可.

試題解析：

（Ⅰ）證明：如圖，連接， ，連接，

四棱錐的底面為菱形，

為中點(diǎn)，又 是中點(diǎn)，

在中， 是中位線， ，

又 平面，而平面， 平面．

（Ⅱ）解：如圖，取的中點(diǎn)，連接， ，

為菱形，且， 為正三角形， ．

設(shè)， ， ，且為等腰直角三角形，即，

，

平面，且，

， ，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，以為原點(diǎn)， 所在的直線為軸， 所在的直線為軸， 所在的直線為軸，

則， ， ， ， ， ， ，

， ， ， ，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

則即

可取．

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

則即

可取．

于是．

所以平面與平面所成二面角的正弦值為．