Question

A是由定義在［2,4］上且滿足如下條件的函數(shù)φ(x)組成的集合:①對任意x∈［1,2］,都有φ(2x)∈(1,2);②存在常數(shù)L(0＜L＜1),使得對任意的x₁,x₂∈［1,2］,都有|φ(2x₁)-φ(2x₂)|≤L|x₁-x₂|.

(1)設φ(x)=,x∈［2,4］,證明φ(x)∈A;

(2)設φ(x)∈A,如果存在x₀∈(1,2),使得x₀=φ(2x₀),那么這樣的x₀是唯一的;

(3)設φ(x)∈A,任取x₁∈(1,2),令x_n+1=φ(2x_n),n=1,2,…,證明給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,成立不等式|x_k+p-x_k|≤|x₂-x₁|.

Answer 1

證明:(1)對任意的x∈［1,2］,φ(2x)=,x∈［1,2］,≤φ(2x)≤,1＜＜＜2,所以φ(2x)∈(1,2).

對任意的x₁,x₂∈［1,2］,

|φ(2x₁)-φ(2x₂)|

=|x₁-x₂|,

3＜,

所以0＜＜,

令=L,0＜L＜1,

|φ(2x₁)-φ(2x₂)|≤L|x₁-x₂|.

所以φ(x)∈A.

(2)反證法:假設存在兩個x₀,x₀′∈(1,2),x₀≠x₀′,使得x₀=φ(2x₀),x₀′=φ(2x₀′),則

由|φ(2x₀)-φ(2x₀′)|≤L|x₀-x₀′|,得|x₀-x₀′|≤L|x₀-x₀′|,所以L≥1,矛盾,故結論成立,

(3)|x₃-x₂|=|φ(2x₂)-φ(2x₁)|≤L|x₂-x₁|,所以|x_n+1-x_n|≤L^n-1|x₂-x₁|,

|x_k+p-x_k|=|(x_k+p-x_k+p-1)+(x_k+p-1-x_k+p-2)+…+(x_k+1-x_k)|≤|x_k+p-x_k+p-1|+|x_k+p-1-x_k+p-2|+…+|x_k+1-x_k|≤L^k+p-2|x₂-x₁|+L^k+p-3|x₂-x₁|+…+L^k-1|x₂-x₁|≤|x₂-x₁|.