Question

已知四邊形ABCD滿足AD∥BC，，E是BC的中點，將△BAE沿著AE翻折成△B₁AE，使面B₁AE⊥面AECD，F(xiàn)為B₁D的中點．
（Ⅰ）求四棱B₁-AECD的體積；
（Ⅱ）證明：B₁E∥面ACF；
（Ⅲ）求面ADB₁與面ECB₁所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取AE的中點M，連接B₁M，證明B₁M⊥面AECD，從而可求四棱B₁-AECD的體積；
（Ⅱ）證明B₁E∥面ACF，利用線面平行的判定定理，證明FO∥B₁E即可；
（Ⅲ）連接MD，分別以ME，MD，MB₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點與向量，求出面ECB₁與面ADB₁的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得二面角的余弦值．
解答：（Ⅰ）解：取AE的中點M，連接B₁M，因為，E是BC的中點，
所以△ABE為等邊三角形，所以，
又因為面B₁AE⊥面AECD，所以B₁M⊥面AECD，…（2分）
所以…（4分）
（Ⅱ）證明：連接ED交AC于O，連接OF，因為AECD為菱形，OE=OD，
又F為B₁D的中點，所以FO∥B₁E，
因為FO?面ACF
所以B₁E∥面ACF…（7分）
（Ⅲ）解：連接MD，分別以ME，MD，MB₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則…（9分）
設(shè)面ECB₁的法向量，則，
令x'=1，則
設(shè)面ADB₁的法向量為，則，
令x=1，則…（11分）
則，
所以二面角的余弦值為…（12分）
點評：本題考查三棱錐的體積，考查線面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定方法，利用空間向量解決面面角問題．