Question

18．如圖，銳角△ABC內(nèi)接于圓0．過圓心0且垂直于半徑0A的直線分別交邊AB、AC于點E、F．設(shè)圓0在B、C兩點處的切線相交于點P．求證：直線AP平分線段EF．

Answer 1

分析 過P作EF的平行線，分別交AB，AC的延長線于點M，N，證明AP平分線段MN，即可證明直線AP平分線段EF．

解答 證明：過P作EF的平行線MN，分別交AB，AC的延長線于點M，N，則∠PMB=∠AEO=90°-∠OAE，
∵O是△ABC的外心，
∴∠OAE=$\frac{1}{2}（180°-∠AOB）$=90°-∠ACB，
∴∠PMB=∠ACB，
∵PB是圓O的切線，
∴∠PBM=∠ACB，
∴∠PMB=∠PBM，
∴PM=PB．
同理PN=PC，
∵PB=PC，
∴PM=PN，
∴AP平分線段MN，
∵EF∥MN，
∴直線AP平分線段EF．

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查直線AP平分線段EF，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．