Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長為2，且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過原點的直線l交橢圓C于M，N兩點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）點P為線段MN的中垂線與橢圓C的一個公共點，求△PMN面積的最小值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b，c的值，則橢圓方程可求；
（2）先求出斜率不存在和斜率為0時△PMN的面積；當直線l的斜率存在且不為0時，設(shè)直線l的方程為y=kx，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求出|MN|，再寫出線段MN的中垂線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程求出|OP|，代入三角形面積公式，利用基本不等式求△PMN面積的最小值，并求此時直線l的方程．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2b=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）①當直線l的斜率不存在時，S_△PMN=$\frac{1}{2}$×2b×a=2；
當直線l的斜率為0時，S_△PMN=$\frac{1}{2}$×2b×a=2．
②當直線l的斜率存在且不為0時．
設(shè)直線l的方程為：y=kx，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{4}{1+{k}^{2}}$，y²=$\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$．
∴|MN|=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=4\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$．
由題意可得：線段MN的中垂線方程為：y=-$\frac{1}{k}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得x²=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$，y²=$\frac{4}{{k}^{2}+4}$．
∴|OP|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=2\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{{k}^{2}+4}}$．
S_△PMN=$\frac{1}{2}$×|MN|×|OP|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}}$≥$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\frac{（1+4{k}^{2}）+（{k}^{2}+4）}{2}}$=$\frac{8}{5}$，
當且僅當k=±1時取等號，此時△PMN的面積的最小值為$\frac{8}{5}$．
∵2＞$\frac{8}{5}$，∴△PMN的面積的最小值為$\frac{8}{5}$，直線l的方程為：y=±x．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)，訓練了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)和弦長公式的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．