Question

15．設(shè)f（x）是定義在R上的減函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）的值； 
（2）求證f（x）是奇函數(shù)；
（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，計(jì)算即可得到f（0）；（2）可令x+y=0，結(jié)合（1）的結(jié)論，由奇偶性的定義，即可得證；
（3）運(yùn)用（2）的結(jié)論和條件：f（x）是定義在R上的減函數(shù)，可得不等式t²-2t＞k-2t²，再由參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
可令x=y=0，可得f（0）=2f（0），
解得f（0）=0；
（2）證明：令x+y=0，即y=-x，
則f（0）=f（x）+f（-x），
由f（0）=0，可得f（-x）=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)；
（3）解：對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
即有f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
由f（-x）=-f（x），可得
f（t²-2t）＜f（-2t²+k），
由f（x）是定義在R上的減函數(shù)，
即有t²-2t＞k-2t²，
即k＜3t²-2t恒成立，
由3t²-2t=3（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，可得t=$\frac{1}{3}$，
取得最小值-$\frac{1}{3}$，
則k＜-$\frac{1}{3}$．
故k的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的運(yùn)用：解不等式，考查賦值法的運(yùn)用，以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．