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記△ABC的三邊長為a、b、c,p為半周長.求證:(a+b)cosC+(b+c)cosA+(c+a)cosB=2p.      

證明：利用正弦定理,?

       a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,其中R為△ABC的外接圓半徑.?

       原恒等式等價(jià)于下述三角恒等式：?

       (sinA+sinB)cosC+(sinB+sinC)cosA+(sinC+sinA)cosB=sinA+sinB+sinC.①?

       注意到，①式的左邊?

       =(sinAcosC+sinCcosA)+(sinBcosC+sinCcosB)+(sinBcosA+sinAcosB)?

       =sin(A+C)+sin(B+C)+sin(A+B)?

       =sin(π-B)+sin(π-A)+sin(π-C)?

       =sinA+sinB+sinC.?

       ∴原命題成立


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試、理科數(shù)學(xué)(湖北卷) 題型：013

記實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn中的最大數(shù)為max{x1，x2，…，xn}，最小數(shù)為min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三邊長為a，b，c(a≤b≤c)，定義它的傾斜度為

則“l＝1”是“△ABC為等邊三角形”

[　　]
A．

必要而不充分的條件

B．

充分而不必要的條件

C．

充要條件

D．

既不充分也不必要的條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：0108 模擬題 題型：單選題

記實(shí)數(shù)x1，x2，……，xn中的最大數(shù)為max{x1，x2，……，xn}，最小數(shù)為min{x1，x2，……，xn}。已知△ABC的三邊長為a，b，c（a≤b≤c），定義它的傾斜度為“l(fā)=max{}·min{}，則“l(fā)=1”是“△ABC為等邊三角形”的
[     ]
A.必要而不充分的條件
B.充分而不必要的條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記實(shí)數(shù)，，……中的最大數(shù)為max，最小數(shù)為min。已知ABC的三邊長為a,b,c（），定義它的親傾斜度為則“=1”是“ABC為等邊三角形”的

A.必要而不充分的條件   B.充分而不必要的條件

C.充要條件         D.既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記實(shí)數(shù)，，……中的最大數(shù)為max，最小數(shù)為min。已知ABC的三邊長為a,b,c（），定義它的親傾斜度為則“=1”是“ABC為等邊三角形”的

A.必要而不充分的條件   B.充分而不必要的條件

C.充要條件         D.既不充分也不必要條件

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