Question

（2012•南寧模擬）已知函數(shù)f（x）=x⁴-x³+ax²-1在區(qū)間（0，2）單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，3）單調(diào)遞增．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）已知函數(shù)g(x)=3x3-(9-b)x2-1(b＜-

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)，求證：g（x）與函數(shù)f（x）的圖象恰有1個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=x⁴-x³+ax²-1在區(qū)間（0，2）單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，3）單調(diào)遞增，可得函數(shù)在x=2處取得極值，即f′（2）=0，從而可求a的值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=x⁴-4x³+（4-b）x²，證明x=0時(shí)，函數(shù)F（x）取得極小值，且F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥g（x）恒成立，從而可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=4x³-3x²+2ax
∵函數(shù)f（x）=x⁴-x³+ax²-1在區(qū)間（0，2）單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，3）單調(diào)遞增．
∴函數(shù)在x=2處取得極值
∴f′（2）=0，即32-12+4a=0，∴a=-5
（Ⅱ）證明：令F（x）=f（x）-g（x）=x⁴-4x³+（4-b）x²，則F′（x）=4x³-12x²+2（4-b）x，
令F′（x）=0，即4x³-12x²+2（4-b）x=0，∴x=0或2x²-6x+（4-b）x=0
∵b＜-

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，
∴2x²-6x+（4-b）x=0的判別式△=4（1+2b）＜0，
∴當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0；x∈（0，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0；
∴x=0時(shí)，函數(shù)F（x）取得極小值，且F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥g（x）恒成立
∴F（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解
∴g（x）與函數(shù)f（x）的圖象恰有1個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)，屬于中檔題．