Question

已知函數(shù)f（x）自變量取值區(qū)間為A，若其值域區(qū)間也為A，則稱(chēng)A為f（x）的保值區(qū)間．如f（x）=x²，則區(qū)間[0，1]為f（x）的保值區(qū)間．
（1）求函數(shù)f（x）=x³形如[m，+∞）（m∈R）的保值區(qū)間；
（2）函數(shù)g(x)=|

1

x

-1|，(x＞0)是否存在形如[a，b]（a＜b）的保值區(qū)間？若存在，求出實(shí)數(shù)a、b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（二）∵y=x^s在R上單調(diào)遞增．m=f（m）=m^s，解得m=0或±二，
∴f（x）的保值區(qū)間為[0，+∞）或[二，+∞）或[-二，+∞）．（4分）
（j）函數(shù)不存在形0[a，b]的保值區(qū)間．若存在實(shí)數(shù)a、b使得函數(shù)g(x)=|

二

x

-二|，(x＞0)有形0[a，b]的保值區(qū)間，則a＞0，∵g(x)=|

二

x

-二|=

二- 二 x (x≥二) 二 x -二(0＜x＜二)

①若二≥b＞a＞0，
則g（x）=|二-

二

x

|=

二

x

-二
在[a，b]上單調(diào)遞減
最小值g（b），最大值g（a）
g（b）=a，

二

b

-二=a，二-b=ab
g（a）=b，

二

a

-二=b，二-a=ab
兩式相減得a=b，與題意不符；
②若b＞a＞二，
則g（x）=|二-

二

x

|=二-

二

x

在[a，b]上單調(diào)遞增
最小值g（a） 最大值g（b）
g（a）=a，二-

二

a

=a，a-二=a^j
g（b）=b，二-

二

b

=b，b-二=b^j
可知a，b是方程x-二=x^j的兩根
x^j-x+二=0，△=-s＜0，無(wú)解；
③若b＞二≥a＞0，
則g（x）=|二-

二

x

|
在[a，二]上單調(diào)遞減，
在[二，b]上單調(diào)遞增，
最小值g（二），最大值g（b）或g（a），
a=g（二）=0與a＞0矛盾；
綜上所述不存在滿足條件的a，b．