Question

已知A、B分別是直線和上的兩個動點(diǎn)，線段AB的長為，P是AB的中點(diǎn)．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)Q（1，0）作直線l（與x軸不垂直）與軌跡C交于M、N兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)R．若，，證明：λ+μ為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．P是線段AB的中點(diǎn)，A、B分別是直線和上的點(diǎn)，和．再由知動點(diǎn)P的軌跡C的方程為．
（2）依題意，直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）．設(shè)M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），則M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵P是線段AB的中點(diǎn)，∴（2分）
∵A、B分別是直線和上的點(diǎn)，
∴和．
∴（4分）
又，∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=12．（5分）
∴，
∴動點(diǎn)P的軌跡C的方程為．（6分）
（2）依題意，直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）．（7分）
設(shè)M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），
則M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組
消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，（9分）
∴，①．②（10分）
∵，∴（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]．
即
∴x₃=λ（1-x₃）．∵l與x軸不垂直，∴x₃≠1，
∴，
同理．（12分）
∴=．
將①②代入上式可得．（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查直線與橢圓的有關(guān)知識、求軌跡方程的方法，以及運(yùn)算求解和推理論證能力．