Question

12．設函數(shù)f（x）=$\frac{{3{x^2}+ax}}{e^x}$（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上為減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）f′（x）=$\frac{-3{x}^{2}+（6-a）x+a}{{e}^{x}}$，由f（x）在x=0處取得極值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=$\frac{-3{x}^{2}+（6-a）x+a}{{e}^{x}}$，令g（x）=-3x²+（6-a）x+a，由g（x）=0，解得x₁=$\frac{6-a-\sqrt{{a}^{2}+36}}{6}$，x₂=$\frac{6-a+\sqrt{{a}^{2}+36}}{6}$．對x分類討論：當x＜x₁時；當x₁＜x＜x₂時；當x＞x₂時．由f（x）在[3，+∞）上為減函數(shù)，可知：x₂=$\frac{6-a+\sqrt{{a}^{2}+36}}{6}$≤3，解得即可．
解法二：“分離參數(shù)法”：由f（x）在[3，+∞）上為減函數(shù)，可得f′（x）≤0，可得a≥$\frac{-3{x}^{2}+6x}{x-1}$，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=$\frac{-3{x}^{2}+6x}{x-1}$，利用導數(shù)研究其最大值即可．

解答 解：（I）f′（x）=$\frac{（6x+a）{e}^{x}-（3{x}^{2}+ax）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{-3{x}^{2}+（6-a）x+a}{{e}^{x}}$，
∵f（x）在x=0處取得極值，∴f′（0）=0，解得a=0．
當a=0時，f（x）=$\frac{3{x}^{2}}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{-3{x}^{2}+6x}{{e}^{x}}$，
∴f（1）=$\frac{3}{e}$，f′（1）=$\frac{3}{e}$，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為$y-\frac{3}{e}=\frac{3}{e}（x-1）$，化為：3x-ey=0；
（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=$\frac{-3{x}^{2}+（6-a）x+a}{{e}^{x}}$，令g（x）=-3x²+（6-a）x+a，
由g（x）=0，解得x₁=$\frac{6-a-\sqrt{{a}^{2}+36}}{6}$，x₂=$\frac{6-a+\sqrt{{a}^{2}+36}}{6}$．
當x＜x₁時，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
當x₁＜x＜x₂時，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
當x＞x₂時，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
由f（x）在[3，+∞）上為減函數(shù)，可知：x₂=$\frac{6-a+\sqrt{{a}^{2}+36}}{6}$≤3，解得a≥-$\frac{9}{2}$．
因此a的取值范圍為：$[-\frac{9}{2}，+∞）$．
解法二：由f（x）在[3，+∞）上為減函數(shù)，∴f′（x）≤0，
可得a≥$\frac{-3{x}^{2}+6x}{x-1}$，在[3，+∞）上恒成立．
令u（x）=$\frac{-3{x}^{2}+6x}{x-1}$，u′（x）=$\frac{-3[（x-1）^{2}+1]}{（x-1）^{2}}$＜0，
∴u（x）在[3，+∞）上單調遞減，
∴a≥u（3）=-$\frac{9}{2}$．
因此a的取值范圍為：$[-\frac{9}{2}，+∞）$．

點評 本題考查了導數(shù)的運算法則、利用導數(shù)的幾何意義研究切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值，考查了分類討論思想方法、“分離參數(shù)法”、推理能力與計算能力，屬于難題．