Question

設(shè)a為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x³－ax²－a²x+1, x∈R．

（1）求f（x）的極值；

（2）設(shè)曲線y=f（x）與直線y=0至多有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）_（極大）=f

f（x）_（極小）=f（a）=a³－a³－a³+1=1－a³

（2）見解析（3）0<a≤1

解析:

（1）f′（x）=3x²－2ax－a²……………………………………………………2分

由f′（x）=3x²－2ax－a²=0，得x₁=－，x₂=a, （a>0）

x	（－，－）	－	（－,a）	a	（a,+ ∞）
f′（x）	+	0	－	0	+
f（x）	增	極大	減	極小	增

……………………………………………………………………………………5分

∴f（x）_（極大）=f

f（x）_{（極�。�}=f（a）=a³－a³－a³+1=1－a³……………………………………………7分

（2）∵f（x）在（－∞，－）上遞增，在（－,a）上遞減，在（a,+ ∞）上遞增，

f（x）_（極大）= a³+1>0………………………………………………………………9分

①當(dāng)極小值f（a）=1－a³≥0，即0<a≤1時(shí)，y=f（x）與y=0在x∈（－，+∞）上有1個(gè)或0個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)f（－1）=a（a－1） ≤0

∴y=f（x）與y=0  在x∈（－∞，－）上有1個(gè)公共點(diǎn)

∴0<a≤1時(shí)，y=f（x）與y=0有1個(gè)或2個(gè)公共點(diǎn)……………………………11分

②當(dāng)極小值f（a）=1－a³<0即a>1時(shí)，y=f（x）與y=0在x∈（－，+∞）上有2個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)f（－a）=1－a³<0

∴y=f（x）與y=0 在x∈（－∞，－）上有1個(gè)公共點(diǎn)

∴a>1時(shí)，y=f（x）與y=0有3個(gè)公共點(diǎn)………………………………………13分

綜上，0<a≤1……………………………………………………………………14分