Question

如圖，在圓錐PO中，已知PO=，⊙O的直徑AB=2，C是的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)，
（Ⅰ）證明：平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B-PA-C的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）連接OC，因?yàn)镺A=OC，D為AC的中點(diǎn)， 所以AC⊥OD， 又PO⊥底面⊙O， AC底面⊙O， 所以AC⊥PO， 因?yàn)镺D，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線， 所以AC⊥平面POD， 而AC平面PAC， 所以平面POD⊥平面PAC。 （Ⅱ）在平面POD中，過(guò)O作OH⊥PD于H，由（Ⅰ）知，平面POD⊥平面PAC， 所以O(shè)H⊥平面PAC， 又PA平面PAC，所以， 在平面PAO中，過(guò)O作OG⊥PA于G， 連接HG，則有PA⊥平面OGH，從而PA⊥HG， 所以∠OGH是二面角B-PA-C的平面角， 在Rt△ODA中，， 在Rt△POD中，， 在Rt△POA中，， 在Rt△OHG中，， 所以， 故二面角B-PA-C的余弦值為。