Question

12．如果x₀滿足f（x）=x，則稱x₀為函數(shù)y=f（x）的一個不動點，設集合A={x|f（x）=x}，集合B={x|f[f（x）]=x}，為探究集合A和B的關系，王超和張宏做了如下探究：
王超：如果我設f（x）=2x+3，求出集合A和B，我由此發(fā)現(xiàn)了的它們的一種關系；
張宏：如果我設f（x）=x²-2，求出集合A和B，我也由此發(fā)現(xiàn)了集合A和B的一種關系．
（1）請寫出王超研究集合A和B的關系的過程；
（2）請寫出張宏研究集合A和B的關系的過程；
（3）請你總結歸納王超和張宏的研究結果（不要求證明），運用你發(fā)現(xiàn)的結論，解決下面問題：如果當f（x）=x²+bx+c（b、c∈R）時，A={-2，1}，求集合B．

Answer 1

分析 （1）由已知中集合A={x|f（x）=x}，集合B={x|f[f（x）]=x}，令f（x）=2x+3，可得A=B={-3}；
（2）令f（x）=x²-2，可得：A={-1，2}，B={-1，2，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$}；
（3）由（1）（2）得A⊆B，進而結合當f（x）=x²+bx+c（b、c∈R）時，A={-2，1}，求出b，c的值，進而可得集合B．

解答 解：（1）當f（x）=2x+3時，
令f（x）=2x+3=x，解得x=-3，故A={-3}，
令f[f（x）]=4x+9=x，解得x=-3，故B={-3}，
此時A=B
（2）當f（x）=x²-2時，
令f（x）=x²-2=x，解得x=-1，或x=2，故A={-1，2}，
令f[f（x）]=x⁴-4x²+2=x，解得x=-3，故B={-1，2，$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$}，
此時A⊆B
（3）歸納王超和張宏的研究結果可得：A⊆B
當f（x）=x²+bx+c（b、c∈R）時，A={-2，1}，
則-2，1是方程x²+bx+c=x的兩根，
即x²+（b-1）x+c=0的兩根，
則-2+1=-1=-（b-1），-2•1=-2=c，
即b=2，c=-2，
則f（x）=x²+2x-2，
令f[f（x）]=x⁴+4x³+2x²-4x-2=x，
即x⁴+4x³+2x²-5x-2=0，
由A⊆B得：-2，1是方程x⁴+4x³+2x²-5x-2=0的兩根，
則x⁴+4x³+2x²-5x-2=（x+2）（x-1）（x²+3x+1）=0，
由x²+3x+1=0無解，可得：B={-2，1}．

點評 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、函數(shù)與方程的綜合運用．解答該題時，借用了一元二次方程的根的判別式與根這一知識點．