Question

已知函數(shù)f（x）=ax-e^x（a＞0）．
（1）若a=

1

2

，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當(dāng)1≤a≤e+1時，求證：f（x）≤x．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線f（x）在x=x₀處的切線方程為y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀），代入計算即可．
（2）作差并將x-f（x）=-ax+x+e^x看成是關(guān)于a的函數(shù)g（a），要證明不等式成立，只需證明g（a）≥0對于一切1≤a≤e+1恒成立即可，亦即證明

g(1)≥0 g(e+1)≥0

．

解答： 解：（1）當(dāng)a=

1

2

時，f(x)=

1

2

x-ex，f(1)=

1

2

-e，
f′(x)=

1

2

-ex，f′(1)=

1

2

-e，
故函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y-

1

2

+e=(

1

2

-e)(x-1)，
即(

1

2

-e)x-y=0
（2）令g（a）=x-f（x）=-ax+x+e^x，
只需證明g（a）≥0在1≤a≤e+1時恒成立，
一方面，g（1）=-x+x+e^x=e^x＞0①
另一方面，g（1+e）=-x（1+e）+x+e^x=e^x-ex，
設(shè)h（x）=e^x-ex，則h′（x）=e^x-e，
當(dāng)x＜1時，h′（x）＜0；當(dāng)x＞1時，h′（x）＞0．
∴h（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減；在（1，+∞）單調(diào)遞增．
∴h（x）≥h（1）=e-e•1=0，即g（1+e）≥0②
由①②知，g（a）≥0在1≤a≤e+1時恒成立
故當(dāng)1≤a≤e+1時，f（x）≤x．

點評：本題中涉及到高考�？純�(nèi)容，即導(dǎo)數(shù)的幾何意義，一般會以填空選擇題的形式呈現(xiàn)，屬于容易題；第二問中的證明中，由1≤a≤e+1知，需要將函數(shù)看成關(guān)于a的函數(shù)，再通過相關(guān)函數(shù)知識解決，學(xué)生在處理時，往往容易把它當(dāng)成關(guān)于x的函數(shù)，從而沒法繼續(xù)證明．所以，在解題時看根據(jù)題目給的條件，分辨哪個是自變量，哪個是參數(shù)，是至關(guān)重要的．