Question

5．定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足xf′（x）-f（x）=x，且f（1）=1．現(xiàn)給出關(guān)于函數(shù)f（x）的下列結(jié)論，正確的個數(shù)為（　　）
①函數(shù)f（x）在$（{\frac{1}{e}，+∞}）$上單調(diào)遞增
②函數(shù)f（x）的最小值為$-\frac{1}{e^2}$
③函數(shù)f（x）有且只有一個零點
④對于任意x＞0，都有f（x）≤x²．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由條件可得f（x）=x（lnx+1），利用導(dǎo)數(shù)求得f（x）的單調(diào)區(qū)間，可得①②正確；根據(jù)零點的定義可得③正確；設(shè)h（x）=f（x）-x²，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，由單調(diào)性求得h（x）的極大值為0，可得④正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：由題意可得$\frac{x•f′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{x}$，根據(jù)積分可得：$\frac{f（x）}{x}$=lnx+C，即f（x）=xlnx+Cx．
代入f（1）=C=1，可得：f（x）=xlnx+x=x（lnx+1）．
故f′（x）=lnx+2，求得極值點為x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故函數(shù)在（0，$\frac{1}{{e}^{2}}$）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
在（$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，故①正確．
由以上可得，函數(shù)f（x）的最小值為f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，故②正確．
由f（x）=0，求得：x=$\frac{1}{e}$，是唯一零點，故③正確．
記h（x）=f（x）-x²=x（lnx+1-x），令g（x）=lnx+1-x，
則g′（x）=$\frac{1}{x}$-1=0得：x=1，再根據(jù)g'（x）的符號可得函數(shù)g（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
在（1，+∞）上是減函數(shù)，故x=1為g（x）的極大值點，而g（1）=0，
即g（x）≤0，從而有h（x）=g（x）-x²≤0，故④正確，
故選：D．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，求函數(shù)的極值，屬于中檔題．