【題目】有
個人聚會，已知：
（1）每個人至少同其中
個人互相認(rèn)識；
（2）對于其中任意個人，或者其中有2人相識，或者余下的人中有2人相識，證明：這
個人中必有3人兩兩相識.
【答案】見解析
【解析】
假設(shè)這
個人中無3人彼此相識.
設(shè)
，
是這個人中相識的2人，由反證假設(shè)可推出余下的
個人中，無1人與，皆相識.因此，至少有
個不同的人，其中每個人或同相識，或同相識.
當(dāng)為偶數(shù)時，由上述討論可知，這個人中恰有一半人與相識，而另一半人則與相識.于是，由題設(shè)可推出在某一半人中必含2個相識的人.這與反證假設(shè)矛盾.
當(dāng)為奇數(shù)時，
.若這幾個人中每人與或相識，則與上述討論類似，可推出矛盾.
不然，存在
，他同，皆不相識，于是，個人中除之外的個人中必有一半與相識，另一半與相識.所有相識的人互不相識，所有與相識的人也互不相識.
假設(shè)有
個人同，皆相識，
個人同，皆相識，不難由題設(shè)推出
，并且這
個人構(gòu)成與相識的人的全部.因而，
.不妨設(shè)
，由
可知
.
設(shè)
同，皆相識，
與
同，皆相識（如圖），由于個人中同相識的人至少為
個，他們中除外同都相識，故必與，之一相識.不妨設(shè)與相識，則，與是彼此相識的人，此與反證假設(shè)相矛盾.因此命題為真.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：
，并整理得到頻率分布直方圖（如圖所示）．
（Ⅰ）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間
內(nèi)的人數(shù)．
（Ⅱ）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.
求證:(1)CM∥平面PAD.
(2)平面PAB⊥平面PAD.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，且經(jīng)過點P
，過它的左、右焦點
分別作直線l1和12.l1交橢圓于A.兩點，l2交橢圓于C,D兩點， 且
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)求四邊形ACBD的面積S的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】若函數(shù)
定義域為
，且對任意實數(shù)
，有
，則稱為“
形函數(shù)”，若函數(shù)
定義域為，函數(shù)
對任意
恒成立，且對任意實數(shù)，有
，則稱為“對數(shù)形函數(shù)” .
（1）試判斷函數(shù)
是否為“形函數(shù)”，并說明理由；
（2）若
是“對數(shù)形函數(shù)”，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）若是“形函數(shù)”，且滿足對任意，有
，問是否為“對數(shù)形函數(shù)”？證明你的結(jié)論．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】游樂場的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，其中心O距地面40.5m，半徑40m.若從最低點處登上座天輪，那么人與地面的距離將隨時間變化，5min后達(dá)到最高點，在你登上摩天輪時開始計時，
（1）求出人與地面距離y與時間t的函數(shù)解析式；
（2）從登上摩天輪到旋轉(zhuǎn)一周過程中，有多長時間人與地面距離大于20.5m.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知點列
、
、
、
、
（
）依次為函數(shù)
圖像上的點，點列
、
、、
（）依次為
軸正半軸上的點，其中
（
），對于任意，點
、
、
構(gòu)成一個頂角的頂點為的等腰三角形.
（1）證明：數(shù)列
是等差數(shù)列；
（2）證明：
為常數(shù)，并求出數(shù)列
的前
項和
；
（3）在上述等腰三角形
中，是否存在直角三角形？若存在，求出
值，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系
中，已知圓
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)，
）.以原點
為極點，
軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，直線
的極坐標(biāo)方程是
.
（1）若直線與圓有公共點，試求實數(shù)
的取值范圍；
（2）當(dāng)
時，過點
且與直線平行的直線
交圓于
兩點，求
的值.
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