Question

【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程及其離心率；

（2）斜率為的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率之積是不為0的定值時(shí)，求此時(shí)的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）1

【解析】

試題（1）由題意易得，將點(diǎn)代入到橢圓方程可得的值，即可得橢圓的方程及其離心率；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，將化簡(jiǎn)為，根據(jù)其為定值得的值，然后利用弦長(zhǎng)公式將表示為關(guān)于的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.

試題解析：（1）由題意可得．

又在橢圓上，所以，解得，

所以橢圓的方程為，

所以，故橢圓的離心率.

（2）設(shè)直線的方程為．

由，消去，得，

所以，

設(shè)，則． ，

由題意，為定值，所以，即，解得．

此時(shí)

， 點(diǎn)到直線的距離．

．

顯然，當(dāng)（此時(shí)，滿足），即時(shí)，取得最大值，最大值為．