Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax2+10x(x∈R)．
（1）若a=3，點P為曲線y=f（x）上的一個動點，求以點P為切點的切線斜率取最小值時的切線方程；
（2）若函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，試求a的取值范圍．

Answer 1

（1）設(shè)切線的斜率為k，
則f'（x）=x²-6x+10=（x-3）²+1，（2分）
顯然當x=3時切線斜率取最小值1，
又f（3）=12，（4分）
∴所求切線方程為y-12=x-3，即x-y+9=0．（6分）
（2）f'（x）=x²-2ax+10．（8分）
∵y=f（x）在x∈（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)
即對任意的x∈（0，+∞），恒有f'（x）≥0，（10分）
即f'（x）=x²-2ax+10≥0．
∴a≤

x2+10

2x

=

x

2

+

5

x

，（12分）
而

x

2

+

5

x

≥

10

，當且僅當x=

10

時，等號成立，
∴a≤

10

．（14分）