Question

10．若$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（sin（ωx+φ），cos（ωx+φ））（ω＞0，0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．已知點(diǎn)（x₁，y₁）、（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）圖象上的任意兩點(diǎn)，當(dāng)|y₁-y₂|=4時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$，且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（Ⅰ）求f（$\frac{5π}{12}$）的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，函數(shù)y=g（x）的圖象與y=1在y軸右側(cè)的交點(diǎn)依次記為A₁、A₂、A₃…、A_n（n∈N^*），求向量$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{6}}$的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、輔助角公式化簡(jiǎn)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求得ω的值，可得f（x）=2cos2x，從而求得f（$\frac{5π}{12}$）的值．
（Ⅱ）根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再令g（x）=1，求得x的值，可得A₁、A₂、A₃…、A_n（n∈N^*）的坐標(biāo)，從而求得向量$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{6}}$的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin（ωx+φ）+$\sqrt{3}$cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ+$\frac{π}{3}$），
由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，可得φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，結(jié)合0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=2cosωx，
再根據(jù)當(dāng)|y₁-y₂|=4時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$，可得函數(shù)的最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，f（x）=2cos2x，故f（$\frac{5π}{12}$）=2cos$\frac{5π}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位后，
得到函數(shù)y=g（x）=f（x-$\frac{π}{12}$）=2cos（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象．
令2cos（2x-$\frac{π}{6}$）=1，求得cos（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，得2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{3}$ 或2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈z．
即x=kπ+$\frac{π}{4}$，或 x=kπ+$\frac{11π}{12}$，由此可得A₁、（$\frac{π}{4}$，1），A₆、（$\frac{35π}{12}$，1 ），
故向量$\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{6}}$的坐標(biāo)為（$\frac{8π}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，輔助角公式，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的奇偶性，屬于中檔題題．