Question

已知橢圓C中心在原點、焦點在軸上，橢圓C上的點到焦點的最大值為，最小值為．    

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若直線：與橢圓交于不同的兩點（不是左、右頂點），且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點．求證：直線過定點，并求出定點的坐標(biāo)．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）直線過定點，且定點的坐標(biāo)為

解析:

（Ⅰ）設(shè)橢圓的長半軸為，半焦距為，則

      解得 

∴ 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為   ．     ………………… 4分

（Ⅱ）由方程組   消去，得

   

由題意：△   

整理得：    ① ……7分

設(shè)，則

， ………………… 8分

由已知， ， 且橢圓的右頂點為

∴　　　　　………………… 10分

即 

也即 

整理得：

解得：   或 ，均滿足①   ……………………… 12分

當(dāng)時，直線的方程為 ，過定點，舍去

當(dāng)時，直線的方程為 ，過定點，

故，直線過定點，且定點的坐標(biāo)為．……………………… 14分