Question

11．設(shè)a，b是不共線(xiàn)的兩個(gè)向量，已知$\overrightarrow{AB}$=2a+kb，$\overrightarrow{BC}$=a+b，$\overrightarrow{CD}$=a-2b，若A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn)，則k的值為-1．

Answer 1

分析 由題意可得向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BD}$共線(xiàn)，存在實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{BD}$，即2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$=$2λ\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow$，可得關(guān)于k，λ的方程組，進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，
∴向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BD}$共線(xiàn)，故存在實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{BD}$，
由題意可得$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）+（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，
即2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$=λ（$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）=$2λ\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow$，
故可得$\left\{\begin{array}{l}{2=2λ}\\{k=-λ}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=1}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
故k=-1，
故答案為：-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算，涉及向量的共線(xiàn)定理，建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．