Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂且傾斜角為60°的直線與雙曲線右支交于A，B兩點，若△ABF₁為等腰三角形，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  -1+ 13

  2

• B、

  1+ 13

  2

• C、

  -1+ 13

  2

  或

  1+ 13

  2

• D、其它

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先根據(jù)△ABF₁為等腰三角形，然后利用雙曲線的定義分別將邊長表示為a的關(guān)系，然后利用余弦定理建立a，c的方程，從而求出雙曲線的離心率．

解答： 解：如圖△ABF₁為等腰三角形，
∵直線AB的傾斜角為60°，
∴AF₁≠BF₁，
∵A，B的位置是可以互換的，
∴AF₁=AB，（BF₁=AB）
∵AF₁=AB=AF₂+F₂B，
∴AF₁-AF₂=F₂B=2a，
∵BF₁-BF₂=2a，
∴BF₁=4a，
∵直線AB的傾斜角為60°，
∴∠F₁F₂B=60°
∵F₁F₂=2C
在三角形F₁F₂B中，根據(jù)余弦定理得，
（4a）²=（2a）²+（2c）²-2•（2a）•2c•cos60°
整理得，3a²+ac-c²=0
同除以a²得，
(

c

a

)2-

c

a

-3=0，
即e²-e-3=0，
解得，
e1=

1+ 13

2

，e2=

1- 13

2

（應(yīng)舍去）
當BF₁=BA時，以為A，B的位置是可以互換的，
∴此時
故選：B．

點評：本題主要考查雙曲線的定義以及余弦定理的應(yīng)用，利用余弦定理求出邊長和a，c之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．本題運算量較大，綜合性較強，考查學生的運算能力．