Question

Rt△ABC的三個頂點在給定的拋物線y²=2px（p＞0）上，斜邊AB平行于y軸且|AB|＞4p，則AB邊上的高|CD|=

2p

．

Answer 1

分析：結合拋物線的方程與性質設出A，B，C，E的坐標，即可表達出斜邊上的高|CD|，再由直角三角形的性質得到斜邊上中線的長度，然后利用兩點之間的距離公式表達出中線的長度，即可得到一個等式，進而求出斜邊上的高得到答案．

解答：解：由題意可得：A，B，C均在拋物線y²=2px（p＞0）上，并且斜邊AB平行于y軸，
所以A、B兩點關于x軸對稱，
設斜邊AB交x軸于點E，并且設A（

b2

2p

，b），B（

b2

2p

，-b），C（

a2

2p

，a），E（

b2

2p

，0），
所以斜邊上的高|CD|=

b2

2p

-

a2

2p

=

b2-a2

2p

．
因為△ABC是直角三角形，由其性質直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，
所以|CE|=b，
又由兩點之間的距離公式可得：|CE|=

( a2 2p - b2 2p )2+a2

，
所以

( a2 2p - b2 2p )2+a2

=b，平方整理可得：(

b2-a2

2p

)2=b2-a2
所以得到

b2-a2

2p

=2p，即|CD|=2p．
故答案為：2p．

點評：本題主要考查拋物線的方程與三角形的一個性質，解決此題的關鍵是具有較高的觀察圖形的能力，要找到各點坐標之間的關系，進而利用兩種形式表達出斜邊的中線，再巧妙地代換未知量．