Question

【題目】如圖，設(shè)點(diǎn)， ， 分別為橢圓的左頂點(diǎn)和左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)，連接并延長交橢圓于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）；

（2）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）首先求出左頂點(diǎn)，然后求出直線方程為： ，聯(lián)立橢圓方程與直線方程，消去未知數(shù)，得到關(guān)于的一元二次方程，然后根據(jù)韋達(dá)定理表示出兩根之積，然后就可以得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，再帶入直線方程，得出總坐標(biāo)；（2）易知左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，又根據(jù)，所以，則所在直線方程為，同樣可以求出直線的方程，然后聯(lián)立兩直線方程，可以求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)坐標(biāo)帶入橢圓方程后，便可以求出值.

試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，聯(lián)立得， ，

，即，

，即.

（2）易知， ， ，

所以直線， 方程分別為， ，

由，解得，代入，

得，即，得，

所以.