Question

10．設函數f（x）=e^x（2x-1）+ax-a，其中a＞-1，若關于x不等式f（x）＜0的整數解有且只有一個，則實數a的取值范圍為（　�。�

• A． （-1，$\frac{3}{2e}$]
• B． （-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2e}$]
• C． （-$\frac{3}{4}$，-$\frac{3}{2e}$]
• D． （-1，-$\frac{3}{2e}$]

Answer 1

分析 設g（x）=e^x（2x-1），y=a-ax，求導g′（x）=e^x（2x+1），從而可得a＞g（0）=-1，且g（-1）=-3e^-1≥a+a，從而解得．

解答 解：設g（x）=e^x（2x-1），y=a-ax，

由題意知，存在唯一的整數x₀，使g（x₀）在直線y=a-ax的下方，
∵g′（x）=e^x（2x+1），
∴當x＜$-\frac{1}{2}$時，g′（x）＜0，當x＞$-\frac{1}{2}$時，g′（x）＞0，
∴g_min（x）=g（$-\frac{1}{2}$）=-2${e}^{-\frac{1}{2}}$；
且g（0）=-1，g（1）=3e＞0，
直線y=a-ax恒過點（1，0），且斜率為-a，
結合圖象可知，
故y|_x=0=a＞g（0）=-1，且g（-1）=-3e^-1≥y|_x=-1=a+a，
解得，-1＜a≤-$\frac{3}{2e}$，
故選D．

點評 本題考查了導數的綜合應用及數形結合思想的應用．