Question

(理)已知函數(shù)f(x)=(n∈N^*)的最大值為a_n,最小值為b_n.

(1)設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n(n∈N^*),求證:.

(2)若數(shù)列{d_n}滿足:d₁=6,d_n·d_n+1=144·(-)ⁿ,設T_n=d₁d₂d₃…d_n(n∈N^*),試問T_n是否存在最大值?若存在,請求出對應的n的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

答案：(理)解:(1)易得f(x)= 的定義域為［0,n］.

令f′(x)=.

所以函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,n)上單調(diào)遞減.

所以a_n=.

由于≤n,所以b_n=.

因為,所以.

(2)令c_n=d_n·d_n+1,所以T_n=d₁d₂d₃…d_n=

由c_n=144·(-)ⁿ知|c_n|≠1.當|c_n|＞1時解得n≤7;當|c_n|＜1時解得n≥8.

所以|T₂|＜|T₄|＜|T₆|＜|T₈|＞|T₁₀|＞…,|T₁|＜|T₃|＜|T₅|＜|T₇|＞…＞|T₁₁|＞….

又d_nd_n+1=144·(-)ⁿ,所以d_n+1d_n+2=144·(-)ⁿ⁺¹.相除,得=-,由d₁=6得d₂=-12,所以d₈=＞1.因為|T₈|=|T₇|·d₈,所以T₈＞T₇＞0,即T₈最大,此時n=8.