Question

（2012•貴州模擬）正三棱錐P-ABC中，PA=1，則其體積的最大值是

1

6

．

Answer 1

分析：設(shè)H為底面△ABC的中心，延長(zhǎng)AH交BC于E，連接PH．設(shè)AB=x，則AH=

3

3

x，得三棱錐P-ABC體積V=

1

12

x²

3-x2

，最后利用基本不等式求最值，可得當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

時(shí)，正三棱錐P-ABC體積的最大值為

1

6

．

解答：解：設(shè)H為底面△ABC的中心，延長(zhǎng)AH交BC于E，連接PH
∵三棱錐P-ABC是正三棱錐
∴PH⊥平面ABC，且AE是BC邊上的中線
設(shè)AB=x，則AH=

2

3

AE=

2

3

•

3

2

x=

3

3

x
Rt△PAH中，PH=

PA2-AH2

=

1- 1 3 x2

∴三棱錐P-ABC體積V=

1

3

S_△ABC•AH=

1

3

×

3

4

x²×

1- 1 3 x2

=

1

12

x²

3-x2

∵x²

3-x2

=2

1 2 x2• 1 2 x2•(3-x2)

，
且

1

2

x2•

1

2

x2•（3-x²）≤（

1 2 x2+ 1 2 x2+(3-x2)

3

）³=1
∴x²

3-x2

≤2，可得V=

1

12

x²

3-x2

≤

1

6

當(dāng)且僅當(dāng)

1

2

x2=3-x²時(shí)，即x=

2

時(shí)，正三棱錐P-ABC體積的最大值為

1

6

故答案為：

1

6

點(diǎn)評(píng)：本題給出正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1，求體積的最大值．著重考查了正三棱錐的性質(zhì)和錐體體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．