Question

10．某生物探測器在水中逆流行進時，所消耗的能量為E=cvⁿT，其中v為進行時相對于水的速度，T為行進時的時間（單位：h），c為常數(shù)，n為能量次級數(shù)，如果水的速度為4km/h，該生物探測器在水中逆流行進200km．
（1）求T關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式；
（2）①當能量次級數(shù)為2時，求探測器消耗的最少能量；
②當能量次級數(shù)為3時，試確定v的大小，使該探測器消耗的能量最少．

Answer 1

分析 （1）分別求出探測器相對于河岸的速度，建立條件即可即可求T關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式；
（2）①當能量次級數(shù)為2時，利用分式函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合基本不等式進行求解．
②當能量次級數(shù)為3時，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）由題意得，該探測器相對于河岸的速度為$\frac{200}{T}$，
又該探測器相對于河岸的速度比相對于水的速度小于4km/h，即為v-4，
則$\frac{200}{T}$=v-4，即T=$\frac{200}{v-4}$，（v＞4）；
（2）①當能量次級數(shù)為2時，由（1）知，v＞4，
E=200c$•\frac{{v}^{2}}{v-4}$=200c$•\frac{[（v-4）+4]^{2}}{v-4}$=200c•[（v-4）+$\frac{16}{v-4}$+8]
≥200c[2$\sqrt{（v-4）•\frac{16}{v-4}}$+8]=3200c，當且僅當v-4=$\frac{16}{v-4}$，即v=8km/h時取等號，
②當能量次級數(shù)為3時，由（1）知，E=200c•$\frac{{v}^{3}}{v-4}$，v＞4，
則E′=200c•$\frac{2{v}^{2}（v-6）}{（v-4）^{2}}$，由E′=0，解得v=6，
即當v＜6時，E′＜0，
當v＞6時，E′＞0，即當v=6時，函數(shù)E取得最小值為E=21600C．

點評 本題主要考查函數(shù)的應用問題，以及利用基本不等式和導數(shù)求解函數(shù)的最值，考查學生的運算能力．