Question

(本小題10分)如圖，已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，

（1）求證：AC⊥BF；

（2）求點A到平面FBD的距離. 

 

Answer 1

【答案】

 （1）見解析（2）

【解析】本題考查異面直線垂直的證明、點到平面的距離．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．

（1）在△ACD中，由題設條件推導出CD⊥CA，由ABCD是平行四邊形，知CA⊥AB，由直線垂直于平面的性質得到AC⊥BF．

（2）求出向量AD和平面FBD的法向量，用向量法能夠求出點A到平面FBD的距離．

解法1：由得,故AD²=AC²+CD^2，,,所以CD⊥CA

以CD為x軸,CA為y軸,以CE為z軸建立空間坐標系，  

                           

   （1）C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,,0),F(0, ,),B(-1,,0),

,, ,

   （2）,

由,可得,

點A到平面FBD的距離為d,

解法2 ：（1）由得,故BC²=AC²+AB^2，,,所以AC⊥AB 

因為ACEF是矩形，AC⊥AF，所以AC⊥平面ABF,故AC⊥BF

（2）由，得