Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），對于任意x∈R滿足f（-x）=f（x），且相鄰兩條對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)$y=f（x）+f（{x+\frac{π}{4}}）$的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，相鄰兩條對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．根據(jù)周期公式，可得ω，f（-x）=f（x），函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，可得φ．即得f（x）的解析式；
（Ⅱ）函數(shù)$y=f（x）+f（{x+\frac{π}{4}}）$，將f（x）代入化簡，求解函數(shù)y，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），
化簡可得：f（x）=2sin（ωx+φ$-\frac{π}{6}$）
（Ⅰ）∵f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
∴φ$-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
∵0＜φ＜π
∴φ=$\frac{2π}{3}$．
相鄰兩條對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．即$\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{2}$．
∵T=$\frac{2π}{ω}$．
∴ω=2．
故得f（x）=2f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$$-\frac{π}{6}$）=2cos2x．
（Ⅱ）函數(shù)$y=f（x）+f（{x+\frac{π}{4}}）$，f（x）=2cos2x．
∴y=2cos2x+2cos2（x+$\frac{π}{4}$）=2cos2x-2sin2x=-2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{4}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{8}+kπ$≤x≤$\frac{3π}{8}+kπ$
∴函數(shù)y的單調(diào)減區(qū)間：[$-\frac{π}{8}+kπ$，$\frac{3π}{8}+kπ$]，k∈Z．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．