Question

18．如圖，在△ABC中，AB=12，$AC=3\sqrt{6}$，$BC=5\sqrt{6}$，點D在邊BC上，且∠ADC=60°．
（Ⅰ）求cosC；
（Ⅱ）求線段AD的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知根據(jù)余弦定理可得$cosC=\frac{{A{C^2}+B{C^2}-A{B^2}}}{2AC•BC}$代入計算即可得解．
（Ⅱ）由0＜C＜π，可得sinC＞0，從而可求sinC的值，利用正弦定理即可求得AD的值．

解答 （本小題共13分）
解：（Ⅰ）∵AB=12，$AC=3\sqrt{6}$，$BC=5\sqrt{6}$，
∴根據(jù)余弦定理：$cosC=\frac{{A{C^2}+B{C^2}-A{B^2}}}{2AC•BC}$=$\frac{{{{（3\sqrt{6}）}^2}+{{（5\sqrt{6}）}^2}-{{12}^2}}}{{2•3\sqrt{6}•5\sqrt{6}}}=\frac{1}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）∵0＜C＜π，
∴sinC＞0，$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\sqrt{1-{{（\frac{1}{3}）}^2}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
∴根據(jù)正弦定理得：$\frac{AD}{sinC}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，即：$AD=\frac{AC•sinC}{sin∠ADC}$=8．…（13分）

點評 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．