Question

4．袋子中裝有形狀，大小完全相同的小球若干，其中紅球a個(gè)，黃球b個(gè)，藍(lán)球c個(gè)；現(xiàn)從中隨機(jī)取球，規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分．
（1）若從該袋子中任取一個(gè)球，所得分?jǐn)?shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為$\frac{5}{3}$和$\frac{5}{9}$，求a：b：c；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)袋子中球的總數(shù)最少時(shí)，從該袋中一次性任取3個(gè)球，求所得分?jǐn)?shù)之和大于等于6的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知得先求出X的分布列，從而求出E（X），D（X），由此能求出a：b：c．
（2）結(jié)合（1）知，當(dāng)袋子中球的總數(shù)量少時(shí)，紅、黃、藍(lán)球的個(gè)數(shù)分別是3，2，1，共6個(gè)球，從中任取3個(gè)，得分之和記為Y，由此能求出所得分?jǐn)?shù)之和大于等于6的概率．

解答 解：（1）由已知得X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{a}{a+b+c}$	$\frac{a+b+c}$	$\frac{c}{a+b+c}$

故E（X）=$1×\frac{a}{a+b+c}+2×\frac{a+b+c}+3×\frac{c}{a+b+c}$=$\frac{a+2b+3c}{a+b+c}$
∴$\frac{a+2b+3c}{a+b+c}$=$\frac{5}{3}$，①
D（X）=（1-$\frac{5}{3}$）²×$\frac{a}{a+b+c}$+（2-$\frac{5}{3}$）²×$\frac{a+b+c}$+（3-$\frac{5}{3}$）²×$\frac{c}{a+b+c}$=$\frac{4a+b+16c}{9（a+b+c）}$=$\frac{5}{9}$，
∴$\frac{4a+b+16c}{9（a+b+c）}$=$\frac{5}{9}$，②
由①②解得a=3c，b=2c，
∴a：b：c=3：2：1．
（2）結(jié)合（1）知，當(dāng)袋子中球的總數(shù)量少時(shí)，紅、黃、藍(lán)球的個(gè)數(shù)分別是3，2，1，
共6個(gè)球，從中任取3個(gè)，得分之和記為Y，
則P（Y=6）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{6}{20}$，
P（Y=7）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，
∴P（Y≥6）=P（Y=6）+P（Y=7）=$\frac{7}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查袋子紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)比值的求法，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)的合理運(yùn)用．