Question

（2012•藍山縣模擬）在△ABC中，P為中線AM上的一個動點，若|

AM

|=2，則

PA

•（

PB

+

PC

）的最小值為

-2

．

Answer 1

分析：由已知中△ABC中，P為中線AM上的一個動點，若|

AM

|=2，我們易將

PA

•（

PB

+

PC

）轉(zhuǎn)化為2（|

PM

|-1）²-2的形式，然后根據(jù)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值的求法，得到答案．

解答：解：∵AM為△ABC的中線，故M為BC的中點
則

.

PB

+

.

PC

=2

PM

.

PA

=

PM

+

MA

則

.

PA

•（

.

PB

+

.

PC

）=（

PM

+

MA

）•2

PM

=2

PM

²+2

PM

•

MA

=2|

PM

|²-4|

PM

|
=2（|

PM

|-1）²-2
當(dāng)|

PM

|=1時，

.

PA

•（

.

PB

+

.

PC

）的最小值為-2
故答案為：-2

點評：本題考查的知識點是平面向量的數(shù)量積的運算，及二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，其中根據(jù)已知條件結(jié)合平面向量的數(shù)量積的運算，將

.

PA

•（

.

PB

+

.

PC

）轉(zhuǎn)化為2（|

PM

|-1）²-2的形式，是解答本題的關(guān)鍵．