Question

【題目】數(shù)列的前項1，3，7，，（）組成集合，從集合中任取（）個數(shù)，其所有可能的個數(shù)的乘積的和為（若只取一個數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），記.例如：當(dāng)時，，，；時，，，，.

（1）當(dāng)時，求，，，的值；

（2）證明：時集合的與時集合的（為以示區(qū)別，用表示）有關(guān)系式（，）；

（3）試求（用表示）.

Answer 1

【答案】（1），，，（2）見解析（3）

【解析】

（1）當(dāng)時，得出，根據(jù)定義得出、、的值，可計算出的值；

（2）當(dāng)時，集合有個元素，比時的集合多了一個元素；

，對應(yīng)的包含兩個部分：（i）若不含，則中的任何一項恰好為時集合的對應(yīng)的中的一項；（ii）若中含的任何一項，除了，其余的個數(shù)均來自集合，這個數(shù)的乘積恰好為集合所對應(yīng)的中的一項，即可證明；

（3）由，，，猜想，下面利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行即可.

（1）當(dāng)時，，

，，，

（2）證明：當(dāng)時，集合有個元素，比時的集合多了一個元素：.∴對應(yīng)的包含兩個部分：

若中不含，則中的任何一項恰好為時集合的對應(yīng)的中的一項.

若中含的任何一項，除了，其余的個數(shù)均來自集合，這個數(shù)的乘積恰好為集合所對應(yīng)的中的一項.

∴有關(guān)系式

（3）解：由，，，

猜想.下面證明：（i）易知時成立.

（ii）假設(shè)時，，

則時，

（其中，，2，…，k，為時可能的k個數(shù)的乘積的和為，

，即時，也成立，

綜合（i）（ii）知對，成立.

∴.